Эквивалентность равномерной непрерывности метрической проекций и $\nu$-проекции

Пусть $\mathscr M$-класс выпуклых множеств существования из линейного нормированного пространства $X$ и на $2^X\times2^X$ задана неотрицательная функция $\rho$, удовлетворяющая условию
$$ (h(M_n,N_n)\to0)\Rightarrow(\rho(M_n,N_n)\to0)\Rightarrow(\delta(M_n,N_n)\to0), $$
где $M_n,N_n\in2^X$, $n\to\infty$, $h(M_n,N_n)$ – хаусдорфово расстояние между $M_n$ и $N_n$, $\delta(M,N)=\inf\{\|x-y\|:x\in M,\ y\in N\}$. Для $x\in X$, $M\in\mathscr M$, $\nu\geqslant0$ обозначим: $\inf\{\|x-y\|:x\in M\}=xM$,
$$ P^\nu_Mx=\{m\in M:\|x-m\|\leqslant(1+\nu)\cdot xM\}; $$
кроме того, $\omega^\nu_\rho(t,M)=\sup\{\rho(P^\nu_Mx,P^\nu_My):\|x-y\|\leqslant t,\ xM\leqslant1\}(t\geqslant0)$ – модуль непрерывности многозначного отображения $x\to P^\nu_M(x)$, и $\omega^\nu_\rho(t)=\sup\{\omega^\nu_\rho(t,M):M\in\mathscr M\}$.
Установлено, что
$$ \lim_{t,\nu\to0}\omega^\nu_\rho(t)=0\Leftrightarrow\lim_{t\to0}\omega^\nu_\rho(t)=0. $$
Библ. 4 назв.