Некоторые свойства регулярного решения уравнения Гельмгольца в плоской области

В статье доказано, что если функция $u_\lambda$ представляет собой регулярное решение уравнения $\Delta_2u+\lambda u=0$ в произвольной двумерной области $g$ и если в произвольной точке $M$ области $g$ введены полярные координаты $r$, $\varphi$, то для любого значения полярного радиуса $r$, меньшего расстояния точки $M$ от границы области $g$, справедлива формула
$$ \int_0^{2\pi}u_\lambda(r,\varphi)e^{in\varphi}\,d\varphi=2\pi(\sqrt\lambda)^{-n}J_n(r\sqrt\lambda)\Bigl(\frac\partial{\partial x}+i\frac\partial{\partial y}\Bigr)^nu_\lambda(M). $$

Попутно установлено, что производная $\frac{\partial^nu_\lambda(0,\varphi)}{\partial r^n}$ представляет собой тригонометрический полином $n$-го порядка. Библ. 1 назв.