О характеристике множеств в пространстве, сопряженном к нормированной структуре

Пусть $(E,\|\cdot\|_E)$ — нормированное пространство, $E^*$ — его сопряженное, $M$ — линейное подмножество в $E^*$. Число
$$ r(M,E,\|\cdot\|_E)=\inf_{\substack{x\in E\\x\ne0}}\sup_{\substack{f\in M\\\|f\|\le1}}\frac{|f(x)|}{\|x\|_E} $$
называется характеристикой множества $M$.
В статье устанавливается связь в нормированных структурах между полунепрерывными свойствами нормы и характеристиками некоторых подмножеств в сопряженном пространстве. Например, справедливо следующее утверждение. Пусть $(X,\|\cdot\|_X)$ — $KN$-пространство. Тогда для того, чтобы $\|\cdot\|_X$ была полунепрерывной на $X$, необходимо и достаточно, чтобы для всякой интервально-полной нормы $p$ на $X$ множество $(X,\|\cdot\|_X)^*\cup(X,p)^*$, т.е. множество всех линейных на $X$ функционалов, одновременно непрерывных как по норме $\|\cdot\|_X$, так и по норме $p$, имело характеристику единица в пространстве $(X,\|\cdot\|_X)$. Библ. 7 назв.