Об асимптотическом разложении решения начальной задачи в банаховом пространстве
Р. Г. Алиев Дагестанский государственный университет
Аннотация:
Для уравнения
$$
\frac1i\frac{du}{dt}-A_0u-\sum_{j=1}^mA_j(t)u(t-h_j^0-h_j(t))=f(t),
$$
где
$h_0=0$,
$h_0(t)\equiv0$,
$h_j^0=\mathrm{const}>0$,
$h_j(t)$ $(j=1,\dots,m)$ — неотрицательные непрерывно дифференцируемые в
$[0,\infty)$ функции,
$A_0$ — линейный ограниченный оператор,
$$
|A_j(t)|_x\le K_je^{-(a-\varepsilon/2)t},\quad K_j=\mathrm{const},
$$
где
$|\cdot|_x$ — норма в банаховом пространстве
$X$, в котором заданы
$A_0$ и
$A_j(t)$, при некоторых условиях на резольвентный оператор
$R_\lambda^0=(\lambda E-A_0)^{-1}$, на
$h_j(t)$ $(j=1,\dots,m)$ и на правую часть
$f(t)$ — получена асимптотическая оценка для любого решения
$u(t)$ из
$L_2$ через экспоненциальные решения
$u_k(t)$ уравнения
$\frac1i\frac{du}{dt}-A_0u=0$ вида
$$
|e^{(a-\varepsilon)t}|u(t)-\sum_{k=1}^nu_k(t)|_x|_{L_2}^2\le c_1+c_2|u(0)|^2_x+c_3\int_0^\infty|u(t)|^2_x\,dt,
$$
где
$c_1$,
$c_2$ и
$c_3$ — постоянные, не зависящие от решения
$u(t)$,
$a>0$. Библ. 1 назв.
УДК:
517.9
Поступило: 21.05.1973