О локальных предельных теоремах в $L_p$

Пусть $X_1,X_2,\dots$ — последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, $A_n$ и $B_n$ — некоторые постоянные, $F_n(x)=P\bigl(\frac{X_1+\dots+X_n-A_n}{B_n}<x\bigr)$.
Обозначим $P_n(x)=F'_n(x)$, где производная понимается как производная абсолютно непрерывной компоненты $F_n(x)$.
Получены необходимые и достаточные условия для того, чтобы $\|P_n-g\|_p\to0$, $n\to\infty$.
Здесь $g(x)$ — плотность некоторого устойчивого закона $G(x)$ с показателем <$\alpha$, $0<\alpha\le2$.
$$ \|\dots\|_p=\Bigl(\int_{-\infty}^\infty|\dots|^p\,dx\Bigr)^{1/p}\quad(1\le p<\infty),\quad\|\dots\|_\infty=\mathop\mathrm{essup}_x|\dots|. $$

Аналогичный результат получен также для решетчатой случайной величины $X_1$. Полученные результаты являются обобщениями некоторых теорем Б. В. Гнеденко и Ю. В. Прохорова. Библ. 1 назв.