О задании метрики в линейном пространстве семейством его подмножеств

Найдены необходимые и достаточные условия на семейство $\{A_r\}_{r>0}$ подмножеств вещественного линейного пространства $X$, при которых $\inf\{r>0:x\in A_r\}$ является квазинормой [1] на $X$. Показано, что для всякого симметричного (относительно нуля) замкнутого множества $A$ в нормированном пространстве $X$, содержащего шар $\{x\in X:\|x\|\le1\}$, существует квазинорма $|\cdot|$ на $X$ такая, что $A=\{x\in X:\|x\|\le1\}$. Построены примеры линейных метрических пространств, в которых существует чебымевская прямая, не являющаяся аппроксимативно компактным множеством. Библ. 6 назв.