Конечная аксиоматизируемость локальной теории множеств

Потребность в изменении аксиоматических теорий множеств была обусловлена, в частности, появлением теории категорий. Аксиоматические теории $ZF$ и $NBG$ оказались непригодными для определения понятия модели теории категорий. Дело в том, что в наивной теории категорий есть конструкции типа “категория категорий”. Конструкции типа “множество множеств” были сильно ограничены в аксиоматических теориях $ZF$ и $NBG$. Аналогичным образом требовалось, с одной стороны, ограничить конструкции типа “категория категорий”, а с другой стороны, приспособить аксиоматическую теорию множеств для такого определения понятия модели категории, которое выдерживает ограниченные конструкции типа “категория категорий”. Для решения этой задачи достаточно быстро была придумана аксиома универсальности $AU$, утверждающая, что каждое множество является элементом некоторого универсального множества, замкнутого относительно всех конструкций $NBG$. К сожалению, в теориях $ZF+AU$ и $NBG+AU$ имеется слишком много универсальных множеств; столько же, сколько всех ординалов, в то время как для решения поставленной выше задачи достаточно иметь только перечислимую совокупность всех универсальных множеств. Поэтому первым автором в 2005 г. была введена локально-минимальная теория множеств, которая сохраняет аксиому универсальности $AU$ и имеет не более чем перечислимую совокупность всех универсальных множеств. Этого удалось достичь за счет отказа от глобальной аксиомы замещения и замены ее на локальную аксиому замещения для каждого универсального класса.
Локально-минимальная теория множеств имеет четырнадцать аксиом и одну аксиомную схему (выделения). В данной статье показывается, что эта аксиомная схема может быть заменена конечным числом аксиом – частных случаев схемы выделения. Использовано доказательство по схеме Бернайса, однако со значительными изменениями, обусловленными наличием условия ограниченной предикативности формулы в аксиомной схеме выделения.
Библиография: 12 названий.