Задача корректности наилучших приближений тригонометрическими полиномами класса $W_0^rH[\omega]_C$

Пусть $k$, $r\in Z_+$, $W_0^rH[\omega]_C=\{f:f\text{~--- $2\pi$-периодическая функция, }f\in C^r[-\pi,\pi],\omega(f^{(r)},\delta)\le\omega(\delta)\}$, $T_k$ — пространство тригонометрических полиномов порядка $k$, $p_k(f)\in T_k$ — полином наилучшего равномерного приближения функции $f$, $E_k(f)$ — величина наилучшего приближения. Доказано, что для любого $\varepsilon>0$
\begin{gather*} \sup\limits_{f\in W_0^rH[\omega]_C}\sup\limits_{\substack{q_k\in T_k\\\|f-q_k\|\le E_k(f)+\varepsilon}}\|p_k(f)-q_k\|_C\asymp R(\varepsilon), \\ \sup\limits_{f\in W_0^rH[\omega]_C}\sup\limits_{\substack{f_1\in C[-\pi,\pi]\\\|f-f_1\|\le\varepsilon}}\|p_k(f)-p_k(f_1)\|_C\asymp R(\varepsilon), \end{gather*}
где $0<\varepsilon\le\omega(1)$, $k>0$, $R(\varepsilon)$ — корень уравнения $R=(\varepsilon'R)^{r/(2k)}\omega((\varepsilon'R)^{1/(2k)})$, а при $k=0$ или $\varepsilon>\omega(1)$ $R(\varepsilon)=\varepsilon$. Библ. 11 назв.