Конструктивная характеристика классов непрерывных на множестве $\mathfrak M\subset C$ функций для $k$-го модуля непрерывности

Доказывается, что прямая теорема, и вместе с ней конструктивная характеристика, установленная ранее В. К. Дзядыком и др., при $k=1,2$, остаются верными и при $k>2$. Сформулируем в упрощенном виде основной результат работы — прямую теорему.
ТЕОРЕМА. {\em Пусть на замкнутой области $\mathfrak M$ с кусочно гладкой границей $\partial\mathfrak M$, не содержащей точек возврата, задана функция $f(z)$, аналитическая в $\operatorname{int}\mathfrak M$ и непрерывная на $\mathfrak M$. Тогда найдется последовательность алгебраических многочленов $P_n(z)$, $n=1,2,\dots$, таких, что при всех $z\in\partial\mathfrak M$ и $n$ справедливы оценки
$$ |P_n(z)-f(z)|\le C\omega_k[f,\rho_{1+1/n}(z)], $$
где $\omega_k(f,t)$ — $k$-ый модуль непрерывности функции $f$ на $\mathfrak M$, $\rho_{1+1/n}(z)$ — расстояние от точки $z\in\partial\mathfrak M$ до $n$-й линии уровня множества $\mathfrak M$, постоянная $c$ не зависит от $z$ и $n$}. Библ. 24 назв.