Необходимые условия справедливости слабой обобщенной локализации для рядов Фурье с “лакунарной последовательностью частичных сумм”
О. В. Лифанцева Московский государственный областной университет
Аннотация:
Ранее было установлено, что на подмножествах
$\mathbb{T}^N=[-\pi,\pi]^N$, представляющих собой крест
$W$, составленный из определенного количества
$N$-мерных брусков $W_{x_sx_t}=\Omega_{x_sx_t}\times [-\pi,\pi]^{N-2}$ (
$\Omega_{x_sx_t}$ – открытое подмножество
$[-\pi,\pi]^2$), в классах
$L_p(\mathbb{T}^N )$,
$p>1$, при
$N\ge3$ справедлива слабая обобщенная локализация почти всюду для кратных тригонометрических рядов Фурье, когда прямоугольные частичные суммы
$S_n(x;f)$ (
$x\in\mathbb{T}^N$,
$f\in L_p$) этих рядов имеют номер
$n=(n_1,\dots,n_N)\in{\mathbb Z}_{+}^{N}$, в котором некоторые компоненты
$n_j$ являются элементами лакунарных последовательностей. В настоящей работе доказан ряд утверждений, показывающих, что найденные структурно-геометрические характеристики таких подмножеств являются точными в смысле числа (образующих
$W$)
$N$-мерных брусков
$W_{x_sx_t}$, а также структуры и геометрии
$W_{x_sx_t}$. В частности, доказано, что нельзя в качестве основания бруска взять произвольное измеримое двумерное множество или открытое трехмерное множество.
Библиография: 8 названий.
УДК:
517.5
Поступило: 23.11.2007
Исправленный вариант: 17.03.2009
DOI:
10.4213/mzm8501