Замечание о норме Фробениуса коммутатора двух матриц

Цель данной заметки – улучшить неравенство, предложенное Бетчером и Вентцелем, которое дает оценку сверху для нормы Фробениуса коммутатора двух частных матриц в пространстве $\mathbb R^{n\times n}$. Сначала предлагается новая верхняя грань, полученная на основе неравенства Бетчера–Вентцеля. Затем, в процессе получения этой оценки, неравенство $\|\boldsymbol{XY}-\boldsymbol{YX}\|_F^2\le2\|\boldsymbol X\|_F^2\|\boldsymbol Y\|_F^2$ окончательно улучшается до
$$ \|\boldsymbol{XY}-\boldsymbol{YX}\|_F^2\le2\|\boldsymbol X\|_F^2\|\boldsymbol Y\|_F^2-2[\operatorname{tr}(\boldsymbol X^T\boldsymbol Y)]^2, $$
и также проводится дальнейшее уточнение.
Библиография: 4 названия.