Моменты высших порядков для остаточного члена в проблеме делителей

Доказано, что если $k\ge 2$ – заданное целое и $1\ll H\le(1/2)X$, то
$$ \int_{X-H}^{X+H}\Delta^4_k(x)\,dx\ll_\varepsilon X^\varepsilon(HX^{(2k-2)/k}+H^{(2k-3)/(2k+1)}X^{(8k-8)/(2k+1)}), $$
где $\Delta_k(x)$ – остаточный член в общей проблеме делителей Дирихле. В доказательстве используется формула типа формулы Вороного для $\Delta_k(x)$, и оценка Роберта–Саргоса количества целых чисел для случая, когда разность четырех корней $k$-й степени мала. Мы также исследуем величину остаточного члена в асимптотической формуле для $m$-го момента величины $\Delta_2(x)$.
Библиография: 15 названий.