Изопериметрическое неравенство для $p$-проводимости

Рассматривается $n$-мерная область $K$ с границей $\partial K=K_0\cup K_1\cup K_2$ такая, что замыкание $\overline{K}$ является образом цилиндра $B=S\times[0,1]$ ($S$ — замкнутый $(n-1)$-мерный шар) при взаимно-однозначном липшицевом отображении. Для $p$-проводимости области $K$, определяемой равенством
$$ c_p(K)=\inf_{U(K)}\int_K|\nabla f|^pdx\qquad(p>1), $$
где $U(K)=\{f(x):f\in W_p^1(K)\cap C(\overline{K}), f=1 \text{ на } K_1, f=0 \text{ на } K_0\}$, устанавливается изопериметрическое неравенство $c_p(K)\leqslant V/r^p$. Здесь $V$ — $n$-мерный объем области $K$, $r$ — кратчайшее расстояние между $K_0$ и $K_1$, измеренное в $K$. Равенство достигается на прямом цилиндре. Библ. 4 назв.