О разности числа простых делителей из подмножеств для последовательных чисел

Пусть $E_1$, $E_2$ – произвольные подмножества множества простых чисел, $g_1(n)$, $g_2(n)$ – аддитивные функции, принимающие целые значения такие, что $g_i(p)=1$, если $p\in E_i$, и $g_i(p)=0$ в противном случае, $i=1,2$. Положим
$$ E_i(x)=\sum_{\substack{p\le x,\\p\in E_i}}\frac 1p,\quad i=1,2. $$
В работе доказано, что если $R(x)=\max(E_1(x),E_2(x))$, $a\ne0$ – целое число, то
$$ \sup_m|\{n:n\le x, g_2(n+a)-g_1(n)=m\}|\ll\frac x{\sqrt{R(x)}}. $$
Если, кроме того, $E_i(x)\ge T$ при $x\ge x_0$, где $T$ – достаточно большая постоянная и
$$ |m-(E_2(x)-E_1(x))|\le\mu\sqrt{R(x)}, $$
то существует постоянная $c(\mu,a,T)>0$, с которой при $x\ge x_0$
$$ \sum_{i=0}^3|\{n:n\le x,g_2(n+a)-g_1(n)=m+i\}|\ge c(\mu,a,T)\frac x{\sqrt{R(x)}}. $$

Библиография: 6 названий.