Теорема Кантора–Лебега для двойных тригонометрических рядов

Пусть $||\cdot||$ — некоторая норма в $\mathbf{R}^2$, $\Gamma$ — единичная сфера, порожденная этой нормой. Отрезок, соединяющий точки $x, y\in\mathbf{R}^2$, назовем рациональным, если $\frac{x_1-y_1}{x_2-y_2}$ или $\frac{x_2-y_2}{x_1-y_1}$ — рациональное число. Пусть $\Gamma$ — выпуклая кривая, не содержащая рациональных отрезков. Выполнение условия
$$ T_\nu(x)=\sum_{||n||=\nu}c_n e^{2\pi i(n_1x_1+n_2x_2)}\to0\qquad (\nu\to\infty) $$
по мере на множестве $E\subset[-\frac12, \frac12)\times[-\frac12, \frac12)=T^2$ положительной плоской меры влечет $||T_\nu||_{L_4}(T^2)\to0$ ($\nu\to\infty$). Если же $\Gamma$ содержит рациональный отрезок, то существуют последовательность полиномов $\{T_\nu\}$ и множество $E\subset T^2$, $|E|>0$, такие, что $T_\nu(x)\to0$ ($\nu\to\infty$) на $E$, но $|c_n|\not\to0$ при $||n||\to\infty$. Библ. 6 назв.