О наилучшем приближении и суммах Валле Пуссена

Для класса $C_\varepsilon=\{f\in C_{2\pi}: E_n[f]\leqslant\varepsilon_n, n\leqslant\mathbf{Z}_+\}$, где $\{\varepsilon_n\}_{n\in\mathbf{Z}_+}$ — последовательность чисел, монотонно стремящаяся к нулю, устанавливаются следующие точные в смысле порядка границы погрешности приближения суммами Валле Пуссена
$$ c_1\sum_{j=n}^{2(n+l)}\frac{\varepsilon_j}{l+j-n+1}\leqslant\sup_{f\in C_\varepsilon}||f-V_{n,l}(f)||_C \leqslant c_2\sum_{j=n}^{2(n+l)}\frac{\varepsilon_j}{l+j-n+1}\qquad(n\in\mathrm{N}),\qquad{(1)} $$
где $c_1, c_2$ — константы, не зависящие от $n$ и $l$. Это решает задачу, поставленную С. Б. Стечкиным на конференции по теории приближения (Бонн, 1976), и допускает единую трактовку многих предыдущих результатов, полученных только для специальных классов $C_\varepsilon$ (дифференцируемых) функций. (1) существенно уточняет оценку вида (см. [1])
$$ ||V_{n,l}(f)-f||_C=O(\log n/(l+1)+1)E_n[f]\qquad(n\to\infty)\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad{(2)} $$
и содержит как частные случаи оценки приближений суммами Фейера (см. [2]) и суммами Фурье (см. [3]). Библ. 8 назв.