О бифуркациях и устойчивости резонансных периодических движений гамильтоновых систем с одной степенью свободы при вырождении гамильтониана

Рассматриваются движения неавтономной периодической по времени гамильтоновой системы с одной степенью свободы, функция Гамильтона которой содержит малый параметр. Начало координат фазового пространства является положением равновесия невозмущенной или полной системы, устойчивым в линейном приближении. Предполагается, что в невозмущенном гамильтониане имеет место вырождение при учете членов не выше четвертой степени (частота малых нелинейных колебаний не зависит от амплитуды) и при этом в системе реализуется один из резонансов до шестого порядка включительно. Для каждого резонансного случая построены модельные гамильтонианы и проведено качественное исследование движений модельной системы. При помощи теории периодических движений Пуанкаре и КАМ-теории дано строгое решение задачи о существовании, бифуркациях и устойчивости периодических движений исходной системы, являющихся аналитическими по дробным (при резонансах до четвертого порядка включительно) или целым (при резонансах пятого и шестого порядков) степеням малого параметра. В качестве приложений исследованы резонансные периодические движения (в случае рассматриваемого вырождения) сферического маятника и волчка Лагранжа с вибрирующей точкой подвеса.