Об одной заметке Пуанкаре

30 ноября 1896 года в журнале “Comptes rendus de l'Académie des Sciences” Анри Пуанкаре опубликовал заметку, озаглавленную «О периодических решениях и принципе наименьшего действия». В ней он предложил искать периодические решения плоской задачи трех тел, минимизируя лагранжево действие по петлям в конфигурационном пространстве, которые удовлетворяют заданным ограничениям (эти ограничения эквивалентны тому, что мы задаем их класс гомологий). В случае ньютоновского потенциала, обратно пропорционального расстоянию, «задача столкновения» не позволила Пуанкаре найти решение, поэтому он решил заменить этот потенциал на «потенциал сильного взаимодействия», который обратно пропорционален квадрату расстояния.
В этой работе объясняется природа трудностей, с которыми столкнулся Пуанкаре и показано как эти трудности, спустя столетие, были частично разрешены для ньютоновского потенциала, что привело к открытию новых поразительных семейств периодических решений плоской и пространственной задач $n$-тел.
[Данная работа представляет собой русскоязычную версию лекции на испанском языке, прочитанной автором на Facultat de Mathematiques i Estadistica (FME), Universitat Politecnica de Catalunya в июне 2004 (электронная версия на французском языке представлена на http://www-fme.upc.es, а также см. [4] и авторский пер. на англ.: A. Chenciner. A Note by Poincaré // Regul. Chaotic Dyn., 2005, vol. 10, №2, pp. 1–10.]