О вариационной формулировке динамики систем с трением

Обсуждается базовая задача динамики механических систем со связями — нахождение ускорений в зависимости от фазовых переменных. Показано, что в случае кулонова трения эта задача равносильна решению некоторого вариационного неравенства. Получены общие условия существования и единственности решения. Рассмотрен ряд примеров.
Для систем с идеальными связями обсуждаемая проблема была решена Лагранжем в его «Аналитической динамике» (1788), что стало поворотным пунктом в математизации механики. В 1829 году Гаусс вывел свой принцип, позволяющий получить решение из условия минимума некоторой квадратичной функции от ускорений, названной «принуждением». В 1872 году Джеллеттом были представлены примеры неединственности решения в системах с трением покоя, а в 1895 году Пенлеве показал, что при наличии трения скольжения наряду с неединственностью возможно отсутствие решений. Такие ситуации оказались серьезным препятствием к развитию теории, математических моделей и практического использования систем с сухим трением. Неожиданным и красивым продвижением явилась работа Пожарицкого, где автор распространил принцип Гаусса на частный случай, когда нормальные реакции могут быть определены из уравнений динамики независимо от величин коэффициентов трения. Тем не менее, для систем с трением Кулона, где нормальные реакции априори неизвестны, до сих пор имеются лишь частные результаты о существовании и единственности решений.
Предлагаемый здесь подход основан на комбинации принципа Гаусса в форме реакций с представлением алгебраической нелинейной системы уравнений относительно нормальных реакций в форме вариационного неравенства. Теория таких неравенств включает в себя результаты о существовании и единственности, а также развитые методы решения.