Об устойчивости неподвижных точек отображений, сохраняющих площадь

Изучаются отображения, сохраняющие площадь. Предполагается, что отображение имеет неподвижную точку и аналитично в малой ее окрестности. Основной результат состоит в разработке конструктивного алгоритма исследования устойчивости неподвижной точки в критических случаях, когда члены первых степеней (до третьей включительно) рядов, задающих отображение, не решают вопроса об устойчивости.
В качестве приложения решена задача об устойчивости вертикального периодического движения шара при наличии его соударений с эллипсоидальной абсолютно гладкой цилиндрической поверхностью с горизонтальной образующей.
Задача об исследовании сохраняющих площадь отображений берет свое начало в методе поверхностей сечения Пуанкаре [1]. Фундаментальным аспектам этой задачи посвящены классические труды Биркгофа [2–4], Леви-Чивиты [5], Зигеля [6, 7], Мозера [7–9]. Дальнейшее рассмотрение задачи содержится в работах Рюссмана [10], Стернберга [11], Брюно [12, 13], Белицкого [14] и других авторов.