О распределении длин циклов в графе $k$-кратной итерации равновероятной случайной подстановки

Изучается влияние процесса итерирования на структуру графа $G_\pi$ исходной равновероятной случайной подстановки $\pi\colon S\to S$. Выписаны точные формулы для распределения длины $\beta_{\pi}\left(x\right)$ цикла $\mathcal{K}_{\pi}\left(x\right)$, содержащего произвольную фиксированную вершину $x\in S$. Получено выражение для математического ожидания случайной величины $\lambda_{\pi^k}\left(l\right)$, равной числу вершин в графе $G_{\pi^k}$, лежащих на циклах длины $l\in \{1,\ldots,|S|\}$. Для $k\in \mathbb{N}$ и произвольных фиксированных вершин $x,y\in S$, $x\ne y$, вычислена совместная вероятность их попадания на циклы фиксированных длин в графе $G_{\pi^k}$.