Нелинейные подстановки на векторном пространстве, рекурсивно-порождённые над кольцом Галуа характеристики 4

Пусть $R=\operatorname{GR}(2^{2r},4)$ – кольцо Галуа характеристики 4 из $2^{2r}$ элементов с разрядным множеством $P=\{\beta\in R\colon\beta^{2^r}=\beta\}$. В частности, если $r=1$, то $R=\mathbb Z_4$ и $P=\{0,e\}$. Строится класс нелинейных подстановок $\pi_F$ на векторном пространстве $\operatorname{GF}(2^r)^m$ произвольной размерности $m\ge3$, каждая из которых представляется композицией линейного рекуррентного преобразования с характеристическим многочленом $F(x)$ и поэлементного выделения первого разряда элементов кольца $R$. Такие подстановки называются рекурсивно-порождёнными над кольцом Галуа $\operatorname{GR}(2^{2r},4)$. Интерес представляет изучение многочленов $F(x)$ с указанным свойством, которые называются разрядно-подстановочными (или РП-многочленами). Нелинейность координатных функций рекурсивно-порождённых подстановок обеспечивается применением разрядной функции кольца Галуа. В силу простоты представления подстановок из рассматриваемого класса, они допускают очень эффективную реализацию. Ранее автором были построены два класса РП-многочленов над кольцом $R=\mathbb Z_4$. В качестве криптографического приложения рассматривается применение рекурсивно-порождённых подстановок при построении итеративных криптографических примитивов.