Теоретические основы прикладной дискретной математики
Центральная предельная теорема для $U$-статистик от цепочек меток вершин на полном графе
Н. М. Меженнаяa,
В. Г. Михайловb a Московский государственный технический университет им.
Н.Э. Баумана, г. Москва
b Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Аннотация:
В полном графе с вершинами
$1,2,\ldots, n$ вершины
$2,3,\ldots,n$ снабжены независимыми случайными метками, принимающими значения из конечного множества
${\mathcal A}_N$. Рассматривается совокупность всех цепей по
$s$ смежных рёбер, каждая из которых выходит из вершины
$1$ и не проходит через одну и ту же вершину дважды. Каждой цепи соответствует
$s$-цепочка из случайных меток пройденных вершин. Рассматривается
$U$-статистика
$U_k(s)$ с ядром, зависящим от
$k$ таких
$s$-цепочек. Число
$k \ge 2$ считается фиксированным, а
$s\ge 1$ может меняться. Установлено, что достаточным условием асимптотической нормальности
$U_k(s)$ (при обычной стандартизации) является условие вида
$\mathbf{D} U_k(s) \ge C n^{2(ks-1)+\varkappa}$, где
$C,\varkappa>0$.
Ключевые слова:
$U$-статистика, центральная предельная теорема, полный граф, цепочка, случайные метки.
УДК:
519.214
DOI:
10.17223/2226308X/14/2