МАТЕМАТИКА
Сходимость рядов фурье дифференцируемых функций многомерного $p$-адического аргумента
М. А. Заренок Белорусский государственный университет, Минск
Аннотация:
В данной статье рассматривается сходимость рядов Фурье функций многомерного
$р$-адического аргумента. Даны определения многомерной функции Малера и частичных сумм ряда Фурье функций многомерного
$р$-адического аргумента. Для получения основного результата был доказан ряд вспомогательных теорем: вычислена норма
$m$-ой производной одномерной и многомерной функций Малера, получен критерий принадлежности функции пространству
$m$ раз непрерывно-дифференцируемых функций
$C^m(\mathbb{Z}_p^n)$ в терминах коэффициентов Малера. Доказана лемма о представлении коэффициентов и частичных сумм кратного ряда Фурье через коэффициенты и частичные суммы одномерного ряда. На основании данных результатов доказана теорема о том, что если
$f \in C^{n-1}(\mathbb{Z}_p^n)$ , тогда ряд Фурье функции сходится равномерно, если
$m \ge n$. Приведен пример функции
$f \in C^{n-1}(\mathbb{Z}_p^n)$ с расходящимся рядом Фурье.
Ключевые слова:
функция
$р$-адического векторного аргумента, ряд Фурье, коэффициенты Фурье, функция Малера.
УДК:
517.9
Поступила в редакцию: 16.05.2012