Критерий $\sigma$-разрешимости конечной группы

На протяжении всей статьи все группы конечны и $G$ всегда обозначает конечную группу. Более того, $\sigma$ является некоторым разбиением множества всех простых чисел $\mathbb{P}$, т. е. $\sigma=\{\sigma_i\mid i\in I\}$, где $\mathbb{P}=\bigcup_{i\in I}\sigma_i$ и $\sigma_i\cap\sigma_j=\varnothing$ для всех $i\ne j$. Множество подгрупп $\mathcal{H}$ группы $G$ называется полным холловым $\sigma$-множеством $G$, если каждый член $\ne1$ множества $\mathcal{H}$ является холловой $\sigma_i$-подгруппой группы $G$ для некоторого $i$ и $\mathcal{H}$ содержит ровно одну холлову $\sigma_i$-подгруппу группы $G$ для каждого $i$. Подгруппа $A$ группы $G$ называется: $\sigma$-перестановочной в $G$, если $G$ обладает полным холловым $\sigma$-множеством $\mathcal{H}$ таким, что $AH^x=H^xA$ для всех $H\in\mathcal{H}$ и всех $x\in G$; $\sigma$-субнормальной в $G$, если в $G$ имеется цепь подгрупп $A=A_0\leqslant A_1\leqslant\dots\leqslant A_t=G$ такая, что либо $A_{i-1}\unlhd A_i$, либо $A_i/(A_{i-1})_{A_i}$ является $\sigma$-примарной группой для всех $i=1,\dots,t$. Подгруппа $A$ группы $G$ является слабо $\sigma$-перестановочной в $G$, если в $G$ имеются $\sigma$-перестановочная подгруппа $S$ и $\sigma$-субнормальная подгруппа $T$ такие, что $G=AT$ и $A\cap T\leqslant S\leqslant A$. В данной работе доказывается, что если в каждой максимальной цепи $M_3<M_2<M_1<M_0=G$ группы $G$ длины $3$ хотя бы одна из подгрупп $M_3$, $M_2$, или $M_1$ является либо субмодулярной, либо слабо $\sigma$-перестановочной в $G$, то $G$ $\sigma$-разрешима.