Данная итерация курса будет посвящена алгебраической логике — области логики, где ключевую роль играют методы универсальной алгебры. Содержание курса можно условно разделить на три части:

1. элементы универсальной алгебры;
2. булевы алгебры и их представления;
3. алгебраическая семантика для неклассических логик.

Ниже приведена более подробная информация о каждой из частей.

1. Под (абстрактной) алгеброй понимают произвольную структуру в сигнатуре, где единственным предикатным символом является равенство. Многообразиями называют классы алгебр, аксиоматизируемые посредством тождеств, т.е. равенств между термами. Так, можно говорить о многообразии всех групп или колец. В первом приближении универсальная алгебра — наука о многообразиях. Мы познакомимся с основными понятиями и методами универсальной алгебры, применяемыми в логике. В частности, с помощью так называемых свободных алгебр (которые также представляют интерес сами по себе) мы докажем знаменитую теорему Бирхоффа: класс алгебр является многообразием, если и только если он замкнут относительно гомоморфных образов, подструктур и прямых произведений.

2. Под решёткой понимают частично упорядоченное множество, в котором у всякого непустого конечного подмножества есть супремум и инфимум. На самом деле, решётки можно воспринимать как алгебры. Более того, они занимают центральное место в универсальной алгебре. Булевы алгебры — особый класс решёток, играющий важную роль в логике. Мы докажем основные результаты, связанные с булевыми алгебрами. В частности, среди них будут различные версии теоремы о представлении булевых алгебр, одна из которых устанавливает тесную связь между булевыми алгебрами и особого рода топологическими пространствами. Эту связь называют дуальностью Стоуна.

3. Известно, что реляционной семантики (также известной как семантика возможных миров или семантика Крипке) не хватает для описания некоторых дедуктивных систем, возникающих в логике. Для таких систем нельзя получить теоремы о полноте относительно реляционной семантики. С другой стороны, практически любая разумная система сильно полна относительно подходящей алгебраической семантики. Несмотря на то что этот тип семантики является существенно более абстрактным, он оказывается весьма удобным с математической точки зрения, поскольку открывает путь к широкому применению методов универсальной алгебры. Мы кратко обсудим алгебраическую семантику для (нормальной) модальной логики и интуиционистской логики, а также поговорим о её применениях.

Курс рассчитан на студентов, прослушавших вводный курс математической логики. В частности, предполагается знакомство с пропозициональной классической логикой и семантикой классической логики первого порядка. Кроме того, желательным, но не обязательным является знакомство с реляционной семантикой для модальной логики и интуиционистской логики.

Расписание на весенний семестр 2021/2022 учебного года:

Время занятий: понедельник 14:45 – 16:10

Первое занятие: 7 февраля

Финансовая поддержка. Курс проводится при финансовой поддержке Минобрнауки России (грант на создание и развитие МЦМУ МИАН, соглашение № 075-15-2019-1614).

Лектор
Сперанский Станислав Олегович

Организации
Московский физико-технический институт (государственный университет), г. Долгопрудный, Московская обл.
Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Математический центр мирового уровня «Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук» (МЦМУ МИАН)