В курсе предполагается обсудить связи между гладкими, почти комплексными, комплексными и кэлеровыми структурами на компактных топологических многообразиях, а также рассмотреть эти структуры с позиций алгебраической геометрии.

Программа курса

0. Основные понятия. Окольцованные пространства. Компактные многообразия. Структурные пучки на многообразиях различных типов. Забывающие функторы.
1. Элементы топологии многообразий. Ориентация. Связные суммы, их связь с раздутием точек в случае алгебраических поверхностей. Обзор когомологических теорий. Одномерные многообразия.
2. Компактные топологические поверхности. Единственность гладкой структуры. Совпадение понятий почти комплексной и комплексной структуры. Полная топологическая классификация. Пространства модулей алгебраических кривых.
3. Гладкие структуры. Сглаживаемость $3$-мерных многообразий; единственность гладкой структуры на них. Примеры несглаживаемых многообразий. Сфера $\mathbb S^7$ группа и гладких структур на ней.
4. Почти комплексные структуры. Определения. Примеры чётномерных многообразий, не допускающих почти комплексных структур; сфера $\mathbb S^4$. География почти комплексных $4$-мерных многообразий.
5. Комплексные структуры. Интегрируемость почти комплексных структур. Примеры не интегрируемых почти комплексных структур. Сфера $\mathbb S^6$, почти комплексная структура и проблема существования комплексной структуры на ней.
6. Кэлеровы метрики на комплексных многообразиях. Связь между симплектическими, кэлеровыми и почти комплексными структурами. Произведения нечјтномерных сфер как комплексные многообразия и возможность введения кэлеровых структур на них; поверхность Хопфа $\mathbb S^1 \times \mathbb S^3$.
7. Комплексные и алгебраические многообразия. Комплексные многообразия, допускающие и не допускающие структуру алгебраических. Комплексные торы и абелевы многообразия. К3-поверхности.
8. Разные вопросы. География алгебраических поверхностей. Алгебраические и симплектические многообразия: параллели, зеркальная симметрия. Множество римановых метрик на гладком многообразии; пространства Тайхмюллера, потоки Риччи и Кэлера-Риччи. Гипотеза геометризации Терстона и её доказательство Перельманом; гипотетические параллели с программой минимальных моделей.

Задачи, листок 1

Задачи, листок 2

Задачи, листок 3

Задачи, листок 4

Задачи, листок 5

Задачи, листок 6

Задачи, листок 7

Задачи, листок 8

Задачи, листок 9

Задачи, листок 10

Лектор
Шабат Георгий Борисович

Организации
Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Математический центр мирового уровня «Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук» (МЦМУ МИАН)