Программа курса:

Первый блок: Элементарная геометрия Лобачевского

1. Вводная лекция. История геометрии. Начала Евклида. Пятый постулат. Сферическая геометрия. Геометрия Лобачевского. Эрлангенская программа Клейна. Геометрия бесконечного дерева -- геодезические, орициклы, граница.
2. Комплексные числа в геометрии. Пополнение плоскости - комплексная сфера, стереографическая проекция. Линейные и дробно-линейные преобразования и их свойства.
3. Классификация движений плоскости Лобачевского.

Второй блок: Аффинная и проективная геометрия в размерности один, два и три

1. $d=1$ - прямая - $R^1$, проективная прямая - $RP^1$. Движения - $T(1,R)$, линейные - $GL(1,R)$, $SL(1,R)$, $O(1)$, аффинные $Aff(1,R)$ и проективные преобразования - $PSL(1,R)$ и их размерности, орбиты, инварианты и дискретные подгруппы, совпадения. Окружность $S^1$ - три реализации ($R/Z, |z|=1,RP^1$), карты-переходы.
2. $d=2$ - плоскость - $R^2$. Движения - $T(2,R)$, линейные - $GL(2,R)$, $SL(2,R)$, $O(2)$, аффинные $Aff(2,R)$. Комплексная структура на $R^2=C^1$, $GL(1,C)$, $SL(1,C)$, $U(1)$, $Sp(1)$. Вещественная проективная плоскость, комплексная проективная прямая, отвечающие им группы, карты, переходы, инварианты. Проективные преобразования, двойное отношение. Проективные метрики, проективная интерпретация Клейна плоскости Лобачевского.
3. $d=3$ - пространство - $R^3$. Движения - $T(3,R)$, линейные - $GL(3,R)$, $SL(3,R)$, $O(3)$, аффинные $Aff(3,R)$. Скалярное, векторное и смешанное произведение. Проективное пространство, карты, переходы, инварианты, ориентация, подпространства размерностей 1 и 2.

Третий блок: Группы и геометрия

1. Фуксовы группы. Теорема Пуанкаре о фундаментальном многоугольнике.
2. Группа движений пространства Лобачевского. Клейновы группы.
3. Геометрия дискретных групп. Гиперболичность по Громову.
4. Примеры групп Ли. $SU(2)$ и $SO(3)$. Кватернионы. Четвёртый блок: Геометрия $R^4=C^2=H^1$
5. $d=4$ - пространство - $R^4$, подпространства, шар и сфера, куб и его грани, выпуклые многогранники. Группы: $GL(4,R)$, $SL(4,R)$, $O(4)$, $SO(4)$, движения, $Aff(3,R)$. Измерение расстояний и объемов, ориентация. $R^4$ как $C^2$, бидиск и шар, комплексные прямые и двумерные плоскости, комплексная часть вещественной гиперплоскости, $GL(2,C)$, $U(2)$, $SU(2)$, $Sp(2)$.
6. Компактификации. $RP^4$ и $PSL(4,R)$, стереографическая проекция, $CP^2$ и $PSL(2,C)$, $C^1 x C^1$, карты-переходы. Многообразия Грассманна $Gr(2,R^4)$ и $Gr(1,C^2)$, размерности, карты, переходы. Алгебраические множества и их замыкания, примеры.
7. Пространства Минковского в размерностях 2, 3 и 4. Группы Лоренца $O(1,1)$, $O(1, 2)$, $O(1,3)$. Специальная теория относительности. Группы $U(1,1)$ и $U(1,2)$.
8. Различные реализации шара и сферы в $C^2$, распределение комплексных касательных. Проективные автоморфизмы шара. Проективные автоморфизмы бидиска в $C^1 \times C^1$.

* Дополнительные лекции ( программа с превышением):

1. Выпуклость, крайние точки, теоремы Хана-Банаха и Крейна- Мильмана.
2. Принцип аргумента для рациональных функций одного комплексного переменного. Приращение аргумента вдоль кривых, связь с числом нулей в области. Рациональные функции как отображение сферы в себя, нули и полюса. Основная теорема алгебры.

Руководители семинара
Белошапка Валерий Константинович
Буфетов Александр Игоревич

Организации
Независимый Московский университет