Суммы Клоостермана – это тригонометрические суммы вида
$S = \sum\limits_{n=N+1}^{N+M}\exp\biggl(2\pi i\dfrac{an^*}{q}\biggr).$
Здесь $q, N, M, a, b$ – целые числа, $2 \le M \le q, 1\le (a, q) < q$, а символом $n^∗$ для целого $n$, взаимно простого с модулем $q$, т.е. решение сравнения
$n^*n \equiv 1\pmod q$.
Такие суммы впервые возникли в работе голландского математика Хендрика Дауве Клоостермана (1900–1968) при исследовании представимости натуральных чисел квадратичной формой вида
$Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dt^2$,
и с тех пор заняли почётное место в арсенале самых "рабочих" теоретико-числовых инструментов.
Изучению сумм Клоостермана и их многочисленных приложений посвятили свои работы сотни математиков, в числе которых – И. М. Виноградов, Т. Эстерман, Г. Дэвенпорт, А. Вейль, А. Сельберг, А. А. Карацуба и многие другие.
В 2005 г. Ж. Бургейн доказал очень глубокую и красивую теорему об оценке т.н. "полилинейной" суммы, т.е. суммы вида
$\sum\limits_{x_1 \in A_1}\dots\sum\limits_{x_n \in A_n} \alpha_1(x_1)\dots \alpha_n(x_n)\exp\biggl(2\pi i\dfrac{x_1\dots x_n}{q}\biggr)$,
где $A_j$ – произвольные подмножества системы вычетов по простому модулю $q$, а комплекснозначные функции $a_j(x)$ удовлетворяют некоторым весьма общим условиям. Эта оценка нашла многочисленные применения в самых разных разделах теории чисел и в том числе в задачах, связанных с оценками сумм Клоостермана.]

В курсе предполагается рассмотреть следующие темы:

• Элементарные методы получения оценок сумм Клоостермана;
• Простейшие приложения сумм Клоостермана;
• Подробный разбор доказательства теоремы Бургейна с привлечением необходимых сведений из аддитивной комбинаторики.

Руководитель
Королёв Максим Александрович

Организации
Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва