Проф. П. С. Красильников проводит исследования по колебаниям и устойчивости механических систем, и в настоящее время является одним из признанных специалистов в этой области.
Начиная с 1980 г. он исследует вращения спутника относительно центра масс в сложных гравитационных полях: в задаче трех, четырех тел (система Земля-Луна-Солнце-спутник), N тел (планетная система), в задаче трех тел с учетом магнитных воздействий.
Им описаны основные эволюционные эффекты вращений твердого тела, что существенно продвинуло теорию относительных движений как естественных небесных тел (планет Солнечной системы), так и искусственных тел (космических аппаратов).
П. С. Красильниковым получены также важные результаты в теории устойчивости стационарных движений: описан новый подход построения функций прямого метода Ляпунова, обобщающий классическую схему построения этих функций из первых интегралов уравнений движения.
С помощью этого подхода систематизировано большинство решенных задач устойчивости стационарных движений механических систем, решены новые задачи, ранее не поддающиеся анализу (так называемые, алгебраически неразрешимые задачи устойчивости).
Теория метода, имеющая абстрактный математический характер, позволила впервые решить задачу интегрирования некоторых классических уравнений в частных производных второго порядка (уравнений Монжа–Ампера параболического типа) и некоторых уравнений третьего порядка.
