Формула Абрамова для энтропии специального потока, построенного по динамической системе $(T,X,\mu)$ и неотрицательной функции $f$, заданной на пространстве $X$, обобщена на случай, когда мера $\mu$ множества $X$ бесконечна $(\mu(X)=\infty),$, а интеграл функции $f$ по мере $\mu$ конечен $(\limits\int_{X} fd\mu < \infty)$. В качестве метрической энтропии $\mu$ выбрана энтропия Кренгеля. Для конечных символических марковских цепей доказана гипотеза Пэрри о том, что всякая гельдеровская функция, все интегралы которой относительно вероятностных инвариантных мер неотрицательны, гомологична неотрицательной гельдеровской функции. Показано, что при добавлении новой строки и нового столбца к матрице типичное изменение спектральных свойств любого ее собственного значения состоит в следующем: пропадает одна жорданова клетка максимального порядка, а порядки остальных жордановых клеток не изменяются. Доказано, что такое изменение спектральных свойств имеет место для собственного значения Перрона любой главной подматрицы копорядка один неотрицательной неразложимой матрицы. Оно также справедливо при возмущении типичным оператором ранга один. В случае, когда ранг типичного возмущения равен $r$, у фиксированного собственного значения исходной матрицы исчезают $r$ самых больших жордановых клеток, а остальные сохраняются в жордановой нормальной форме новой матрицы. Получен критерий когда сильно связный подорграф $S$ является максимальным в исходном сильно связном орграфе $D$ (т. е. когда любой сильно связный подорграф содержащий $S$ совпадает или с $S$ или с $D$). Показано, что два различных максимальных сильно связных подорграфа не имеют общих вершин если и только если диаметер исходного орграфа $D$ на единицу меньше его порядка $n$, орграф $D$ имеет (единственный) гамильтонов цикл и существуют по крайней мере две пары вершин, расстояние между которыми равно $n-1.$. Полученные результаты использованы для исследования свойств связности и спектральных свойств максимальных подорграфов с наибольшим собственным значением Перрона.
Основные публикации:
Савченко С. В. Периодические точки счетных топологических марковских цепей // Матем. сборник, 1995, 186 (10), 103–140.
Савченко С. В. Специальные потоки, построенные по счетным ТМЦ // Функ. анал. и его прил., 1998, 32 (1), 40–53.
Гуревич Б. М., Савченко С. В. Термодинамический формализм для символических цепей Маркова со счетным числом состояний // УМН, 1998, 53 (2), 3–106.
Савченко С.В. Гомологические неравенства для конечных топологических цепей Маркова. Функ. анал. и его прил., 1999, 33 (3), 91–93.
Савченко С. В. О спектральных свойствах неразложимой неотрицательной матрицы и ее главных подматриц копорядка один // УМН, 2000, 55 (1), 191–192.
