Специальность ВАК:
01.01.01 (вещественный, комплексный и функциональный анализ)
Дата рождения:
14.08.1940
Ключевые слова: почти-периодические функции,
эллиптические и параболические уравнения,
усреднение,
эффект Лаврентьева,
соболевские пространства,
сингулярные структуры,
нестандартные условия роста,
релаксационный функционал.
Основные темы научной работы:
Почти-периодические функции и решения дифференциальных уравнений, общая теория устойчивости, спектральная теория дифференциальных операторов, стабилизация решений параболических уравнений. Усреднение дифференциальных операторов и вариационных функционалов. Исследование эффекта Лаврентьева в связи с усреднением. Вариационные задачи для лагранжианов нестандартного роста. Построена теория двухмасштабной сходимости, связанная с произвольной периодической мерой. Даны приложения к усреднению для некоторых новых моделей double-porosity. Детально рассмотрены спектральные вопросы в моделях двойной пористости. Найден спектр предельного оператора в "двухмасштабном" гильбертовом пространстве. Доказана сходимость по Хаусдорфу спектра исходного оператора к спектру предельного. Обнаружено новое явление — наличие лакун в спектре, не зависящих от исходной области. Положено начало усреднению задач теории упругости на сетках, сочленениях плит и стержней, а также вообще на "сингулярных" объектах. Выяснено, что в типичном случае усредненное уравнение имеет "двухмасштабный" характер, в отличие от усреднения скалярных задач. Изучены соболевские пространства теории упругости для различных сингулярных объектов. Рассмотрена задача усреднения на тонких сетках, когда толщина сеток стремится к нулю вместе с периодом. Обнаружен масштабный эффект: усредненный оператор зависит от того, как толщина сходится к нулю. Именно, если толщина убывает медленнее периода, то усредненный оператор классический, а если быстрее, то двухмасштабный. Техника усреднения, связанная с периодической мерой (measure approach) перенесена на случай монотонных операторов второго порядка. Введен новый класс вырождающихся операторов второго порядка ("partially Muckenhoupt weights"). Доказана гельдеровость решений, в то время как неравенство Соболева, неравенство Харнака и условие удвоения отсутствуют.
Основные публикации:
Левитан Б. М., Жиков В. В., Почти-периодические функции и дифференциальные уравнения, Изд. МГУ, М., 1978
Жиков В. В., Козлов С. М., Олейник О. А., Усреднение дифференциальных операторов, Наука, М., 1993
Jikov V. V., Kozlov S. M., Oleinik O. A., Homogenization of differential operators and integral functionals, Springer-Verlag, Berlin, 1994
Жиков В. В., “Связность и усреднение. Примеры фрактальной проводимости”, Матем. сб., 187:8 (1996), 3–40
Жиков В. В., “Усреднение задач теории упругости на сингулярных структурах”, Известия РАН, сер. матем., 66:2 (2002), 81–148
