Специальность ВАК:
01.02.01 (теоретическая механика)
E-mail: Ключевые слова: динамические системы,
симметрии,
проблема интегрируемости уравнений динамики,
гидродинамика.
Основные темы научной работы:
Изучены однопараметрические группы симметрий в четырехмерном фазовом пространстве, порожденные векторными полями, коммутирующими с исходным гамильтоновым векторным полем, функция Гамильтона которого квадратична по импульсам. По причине однородности можно ограничиться рассмотрением полиномиальных полей симметрий: их компоненты — полиномы по импульсам. Ранее было установлено (В. В. Козлов), что если род поверхности (которая является конфигурационным пространством) больше единицы, то нетривиальных симметрий нет. Оказывается, для поверхности рода один (двумерный тор) поля симметрий первой степени всегда гамильтоновы; более того, они обязательно нетеровы и тогда существует скрытая циклическая координата. Поля симметрий второй степени гамильтоновы лишь в том случае, когда гауссова кривизна метрики, задаваемой кинетической энергией, отлична от нуля. В этом случае имеется квадратичный интеграл и в случае двух степеней свободы уравнения решаются методом разделения переменных. Также было изучено строение полей симметрий степени 3 и 4 для гамильтоновых систем, конфигурационным пространством которых является двумерный тор. Была открыта удивительная связь между степенью неприводимого дополнительного интеграла и топологией конфигурационного пространства механической системы. Были высказаны гипотезы: для случая сферы (род равен 0) степень неприводимого интеграла не превосходит 4. Интеграл степени 3 соответствует случаю Горячева–Чаплыгина, а интеграл степени 4 есть интеграл Ковалевской из динамики твердого тела. Для случая двумерного тора (род равен 1) степень неприводимого дополнительного интеграла не превосходит 2. Отметим, что ранее было установлено (В. В. Козлов), что если род двумерной поверхности больше единицы, то механическая система вообще не допускает дополнительного непостоянного интеграла. Получены конструктивные критерии существования условных линейных и квадратичных интегралов на двумерном торе. Рассмотрена задача об условиях существования полиномиальных по импульсам интегралов обратимых гамильтоновых систем: кинетическая энергия — риманова метрика нулевой кривизны, потенциал — гладкая функция на двумерном торе.
Основные публикации:
Козлов В. В., Денисова Н. В. Симметрии и топология динамических систем с двумя степенями свободы // Матем. сб., 1993, 184(9), 125–148.
Козлов В. В., Денисова Н. В. Полиномиальные интегралы геодезических потоков на двумерном торе // Матем. сб., 1994, 185(12), 49–64.
Денисова Н. В. О структуре полей симметрий геодезических потоков на двумерном торе // Матем. сб., 1997, 188(7), 107–122.
Денисова Н. В. Полиномиальные по скорости интегралы динамических систем с двумя степенями свободы и торическим конфигурационном пространством // Матем. заметки, 1998, 64(1), 37–44.
Денисова Н. В., Козлов В. В. Полиномиальные интегралы обратимых механических систем с конфигурационным пространством в виде двумерного тора // Матем. сб., 2000, 191(2), 43–63.
