Вычисление $K$-групп комплексов Эйленберга–Маклейна. Найдены необходимые и достаточные условия существования элементов бесконечной фильтрации в комплексной $K$-теории в терминах характера Черна. Вычисление групп бордизмов почти комплексных многообразий с действием группы $Z_p$ в терминах локальных свойств неподвижных точек. Конструкция симметрической сигнатуры для неодносвязных многообразий как элемента группы Уолла фундаментальной группы многообразия. Установлена инвариантность симметрической сигнатуры относительно как гомотопической эквивалентности, так и бордантности. Получена формула для препятствия к перестройке нормального отображения до гомотопической эквивалентности по модулю кручения. Теория фредгольмовых представлений дискретных групп и доказательство гипотезы Новикова для многообразий неотрицательной кривизны. Теория индекса эллиптических операторов над $C^*$-алгебрами и формула Хирцебруха для неодносвязных многообразий. Доказательство полной интегрируемости динамических систем на группах Ли и симметрических пространствах. Доказательство теоремы о том, что существование конечномерной алгебры Ли $F$ первых интегралов гамильтоновой динамическиой системы на многообразии $M$ с условием $\dim M=\dim F+\operatorname{index}F$ влечет полную интегрируемость динамической системы. Конструкция номотопических инвариантов лагранжевого многообразия, ответственных за существование комплексного канонического оператора Маслова на лагранжевом многообразии. Аналитическое решение линейной дифференциальной игры преследования. Оценка числа стационарных решений дифференциального стохастического уравнения. Развита теория аналитического кручения над $C^*$-алгебрами. Установлена связь между асимптотическими и фредгольмовыми представлениями. Получена локальная комбинаторная версия формулы Хирцебруха.
Основные публикации:
А. С. Мищенко, И. М. Гельфанд, “Квадратичные формы над коммутативными групповыми кольцами и $К$-теория”, Функц. анализ и его приложения, 3:4 (1969), 28–33
А. С. Мищенко, “Гомотопические инварианиты неодносвязных многообразий. 1. Рациональные инварианты”, Известия АН СССР. Сер. матем., 34:3 (1970), 501–514
А. С. Мищенко, “Бесконечномерные представления дискретных групп и высшие сигнатуры”, Известия АН СССР. Сер. матем., 38:1 (1974), 81–106
А. С. Мищенко, А. Т. Фоменко, “Обобщенный метод Лиувилля интегрирования гамильтоновых систем”, Функц. анализ и его приложения, 12:2 (1978), 46–56
А. С. Мищенко, “Локальная комбинаторная формула Хирцебруха”, Труды МИАН, 224, 1999, 249–263
