Основная научная специализация — теория меры на бесконечномерных структурах. Построена теория поверхностного интегрирования в общем локально выпуклом пространстве (ЛВП). Кроме самостоятельного значения (вклад в развитие бесконечномерного анализа и в направление, названное А. Н. Колмлгоровым "Нелинейная теория вероятностей"), теория нашла применения в различных областях математики (распределения и дифферениальные уравнения, случайные процессы, приближение функций и др.) и позволила открыть новые направления: вариационное исчисление на ЛВП; бесконечномерная задача Лагранжа; теория потенциала в ЛВП. (Как выяснилось, эти направления теснейшим образом связаны с управлением случайными процессами.) Предложена и развита конструкция распределений (обобщенных функций и мер) на гильбертовом пространстве. Предложен и развит принципиально новый метод исследования бесконечномерных дифференциальных уравнений (комбинация "преобразование Фурье – поверхностное интегрирование"). С помощью этого метода, в частности, доказан бесконечномерный аналог теоремы Хермандера о существовании фундаментальных решений линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Полностью решена (обобщенная) проблема о существовании гильбертовых носителей винеровской меры. Заложены основы теории векторного интегрирования; доказаны базисные положения. (Векторный интеграл — это интеграл от ЛВП-значной функции по мере со значениями в векторно-двойственном ЛВП; область определения функции и меры — абстрактное измеримое пространство. Ранее такие интегралы не рассматривались, но они важны для различных математических областей.) Получен ряд результатов по теории ЛВП, оптимизации стохастических систем, дискретным задачам.
Основные публикации:
Угланов А. В. О гладкости распределений функционалов от случайных процессов // Теория вероятн. и ее прим., 1988, 23(2), 535–544.
Uglanov A. V. Integrals with respect to vector-valued measures: Theoretical problems and applications // Amer. Math. Soc. Transl., ser. 2, 1995, 163, 171–184.
Uglanov A. V. Integration on infinite-dimensional surfaces and its applications. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 2000.
Угланов А. В. Вариационное исчисление на банаховых пространствах // Матем. сб., 2000, 191(10), 105–118.
Угланов А. В. Абсолютно суммирующие отображения локально выпуклых пространств в теории меры // Докл. АН, 2001, 380(3), 319–322.
