Специальность ВАК:
01.01.01 (вещественный, комплексный и функциональный анализ)
Ключевые слова: бесконечномерный анализ,
топологические векторные пространства,
стохастический анализ на римановых многообразиях,
функциональные интегралы Фейнмана,
бесконечномерные системы Гамильтона–Дирака,
квантовая информация,
открытые квантовые системы,
стохастические уравнения Шредингера–Белавкина,
меры на бесконечномерных многообразиях,
суперанализ,
нестандартный анализ.
Основные темы научной работы:
Решены основные проблемы, связанные с теоремами о замкнутом графике и, более общим образом, с гомологическими свойствами конкретных локально выпуклых пространств, привлекавшие внимание спецалистов в начале семидесятых годов. Эти проблемы, которым в то время насчитывалось 15–20 лет, восходят к Дьедонне, Л. Шварцу, Гротендику, Кете, Птаку, Келли, Райкову. В частности, для пространства $D$ бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем на прямой (эффективно) построено неполное (причем являющееся метризуемым) факторпространство. Далее, показано, что понтрягинская двойственность, связывающая пространства $D$ и $D'$, не распространяется на их подпространства и факторпространства. При решении всех этих проблем был развит (представляющий и самостоятельный интерес) метод эффективного построения в локально выпуклых пространствах секвенциально замкнутых незамкнутых подмножеств различных типов: счетных, выпуклых, являющихся векторными подпространствами и т.д. Среди прочего этот метод позволил заново решить, пользуясь свойствами пространств $D$ и $D'$, пять из двенадцати проблем, поставленных в известной статье Дьедонне и Шварца; ранее все эти проблемы были решены Гротендиком, который, не располагая обсуждаемым методом, использовал для этого специально сконструированные им пространства (тогда как в пяти случаях достаточно было воспользоваться свойствами стандартных пространств $D$ и $D'$). Показано (совместно с А. В. Углановым), что мера Винера не обладает гильбертовым носителем и тем самым опровергнута гипотеза Ф. А. Березина, согласно которой счетная аддитивность меры Винера является следствием теоремы Минлоса–Сазонова. Показано (совместно с Е. Т. Шавгулидзе), что гамильтонова мера Фейнмана (на множестве траекторий в фазовом пространстве) может рассматриваться акк аналитическое продолжение некоторой гауссовской меры и тем самым опровергнута другая гипотеза Березина. Определены бесконечномерные псевдодифференциальные операторы с $pq-$, $qp-$ и, более общим образом, $\tau-$ символами и построена (совместно с А. Ю. Хренниковым) алгебра таких операторов (тем самым решена еще одна задача Березина). Развиты теория гладких функций и (совместно с С. В. Фоминым) теория гладких мер на бесконечномерных пространствах. Показано (совместно с Купшем), что на тензорной алгебре (в частности, на грассмановой алгебре) не существует нормы, удовлетворяющей оценке $\|xy\|\le c\|x\|\|y\|$ при $c=1$, но для $c=\sqrt{3}$ такая норма построена; тем самым получено решение проблемы, восходящей к Б. Девитту. Получены (совместно с С. Альбеверио, В. Н. Колокольцовым и А. Труменом) представления решений стохастических уравнений Шредингера–Белавкина с помощью интегралов Фейнмана по траекториям. Получено (совместно с М. О. Смоляновой) доказательство гипотезы И. Р. Пригожина о несводимости бесконечномерной динамики Лиувилля к гамильтоновой динамике. Найдена (совместно с Л. Аккарди) связь между лапласианами Леви и некоторыми (квантовыми) случайными процессами. Введены поверхностные меры на множествах траекторий в (компактных) римановых подмногообразиях эвклидовых пространств (и римановых многообразий), порождаемые мерами на множествах траекторий в объемлющих пространствах и исследованы (совместно с Х. ф. Вайцзеккером) их свойства. В частности, показано, что в случае, когда мерой на траекториях в объемлющих многообразиях является мера Винера, соответствующая поверхностная мера абсолютно непрерывна относительно меры Винера на траекториях в подмногообразии и найдена соответствующая плотность. Получены (совместно с А. Труменом) формулы Фейнмана и Фейнмана–Каца для решений уравнений Шредингера (в том числе стохастических) на римановых многообразиях; при этом решены задачи, восходящие к С. Девитт-Моретт и Д. Элворси.
Основные публикации:
Смолянов О. Г. Пространство $D$ не является наследственно полным // Изв. АН СССР, матем., 1971, т. 36, в. 2, с. 682–696.
Смолянов О. Г. Бесконечномерные псевдодифференцальные операторы и квантование по Шредингеру // ДАН СССР, 1982, т. 263, в. 3, 558–561.
Kupsch J., Smolyanov O. G. Functional representations for Fock superalgebras // Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics, v. 1, no. 2, 1998, 285–324.
Смолянов О. Г., Трумен А. Уравнения Шредингера–Белавкина и связанные с ними уравнения Колмогорова и Линдблада // Теоретическая и математическая физика, т. 120, № 2, 1999.
Smolyanov O. G., Weizsaecker H. v., Wittich O. Brownian motion on a manifiold as limit of stepwise conditioned standard Brownian motions // Canadian Mathematical Society Conference Proceedings, v. 29, 2000, 589–602.
ИСТИНА