|
ВИДЕОТЕКА |
VII Международная конференция по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям (DFDE)
|
|||
|
Двойственная формулировка Принципа максимума Понтрягина (ПМП) Р. В. Гамкрелидзе |
|||
Аннотация: Уже в простейшем конечномерном случае всякое необходимое условие экстремальности, выраженное в инфинитезимальных терминах, в полной мере использует двойственность между дифференциалом исследуемой на экстремум функции и производными по касательным направлениям к многообразию связей при соответствующем значении аргумента. Например, необходимое условие экстремальности значения гладкой функции где В докладе показано на примере типичной задачи оптимального управления — задачи оптимального быстродействия, что и ПМП можно воспринимать как манифестацию двойственности между касательными и соответствующими кокасательными пространствами Через $X<\theta,Y> = <\mathcal L_{X}\theta,Y> + <\theta,\mathcal P_{X}Y>\ \forall \theta\in \Lambda^1,\, X,Y\in Vect\,M. $ Я называю это поле производной Понтрягина. Оно было введено для формулировки принципа максимума Л. С. Понтрягиным как гамильтоново поле на $ H_X(\psi_u)=<\psi_u, X_u>, \ \psi_u\in T^*_uM,\ u\in M. $ Из соотношения двойственности следует, что ограничение поля $ \mathcal P_X H_Y=H_{ad_XY}\ \forall X, Y\in Vect\,M. $ Предположим, что оптималь $ G^{\tau, t}, \Gamma^{\tau,t},\ 0\le t\le T, \quad G^{\tau,\tau}=id_{TM},\ \Gamma^{\tau,\tau}=id_{T^*M}, $ можно выразить ПМП в форме соотношения двойственной с помощью следующей конструкции. В каждом касательном пространстве вдоль заданной оптимальной траектории $ G^{\tau,t}K_\tau \subset K_t\ \text{при}\ \tau\le t,\quad Y_t-X_t\in K_t\ \forall t\in[0,T], $ где Данных определений достаточно, чтобы сформулировать необходимое условие оптимальности траектории \begin{equation}\label{gamk-e1} ker^{(-)}\psi_T\supset K_T, \tag{*} \end{equation} т. е. гиперплоскость Наконец, рассмотрим ковекторную функцию $ \psi_t=(\Gamma^{T,t})^{-1}\psi_T\in T^*_{x_t}M,\ 0\le t\le T, $ полученную сносом ковектора $ <\psi_t,X_t>=H_t\ge\ <\psi_t,Y_t>\quad \forall t\in [0,T]. $ |