|
ВИДЕОТЕКА |
|
Критерии вложения анизотропных классов Соболева–Морри М. А. Жайнибекова, Г. Т. Джумакаева Институт теоретической математики и научных вычислений Евразийского национального университета им. Л. Н. Гумилёва |
|||
Аннотация: Классическая теорема С.Л. Соболева [1] утверждает, что при С позиций теории вложений функциональных пространств и их приложений интересен вопрос о переходе к более узким классам В определениях и обозначениях из [1]–[2] справедлива Теорема. Пусть даны целые положительные числа $$ W_{p;\Phi;\aleph _{1},\ldots,\aleph _{s} }^{r_{1} ,\dots,r_{s} } \left(0,1\right)^{s} \subset C\left(0,1\right)^{s}$$ достаточно, а в случае выполнения условий ${\frac{1}{p} \sum _{j=1}^{s}\frac{1}{r_{j} } \ne 1,}$ ${r_{\tau } \aleph _{\tau } =1}\; \left(\tau =1,\dots,s\right)$ и $\eta \omega \left(\delta \right)\le C\delta \omega \left(\eta \right)\, \left(0<\eta <\delta <1\right)$ необходимо, чтобы $$ \int _{0}^{1} \delta^{\left(1-\frac{1}{p}\sum_{j=1}^{s} \frac{1}{r_{j} }\right)\frac{\max_{\tau =1,\dots,s}r_{\tau}\aleph _{\tau}}{\aleph_{1} +\ldots+\aleph_{s}}} \Phi(\delta)\frac{d\delta }{\delta}<+\infty. $$ При $$ W_{p;\Phi ;1,\ldots,1}^{r} \left(0,1\right)^{s} \subset C\left(0,1\right)^{s} \, \Leftrightarrow \, \int _{0}^{1}\delta ^{\frac{r}{s} -\frac{1}{p} } \cdot \Phi (\delta ) \frac{d\delta }{\delta } <+\infty. $$ Достаточное условие для вложения \begin{equation} W_{p; \Phi; \aleph _{1}\ldots\aleph _{s} }^{r_{1},\ldots, r_{s} } (0,1)^{s} \subset D^{\left(\alpha _{1},\ldots,\alpha _{s} \right)} L^{q} (0,1)^{s} \end{equation} при \begin{equation} \int _{0}^{1}\vartheta ^{-\sum _{j=1}^{s}\frac{\alpha _{j} }{r_{j}} -\left(\frac{1}{p} -\frac{1}{q} \right)\sum _{j=1}^{s}\frac{1}{r_{j} }} \Phi ^{1-\frac{p}{q} } \left(\vartheta^{^{\frac{\aleph _{1} +\ldots+\aleph _{s} }{\mathop{\max }\limits_{\tau =1,\ldots,s} r_{\tau } \aleph _{\tau}}}} \right)d\vartheta <+\infty. \end{equation} Не исключено, что условие (2) и необходимо для вложения (1), во всяком случае в ряде случаев это действительно так. Теперь обратимся к случаю Теорема. Пусть \begin{equation*} \label{N291:EQ3} W_{p=\sum _{j=1}^{s}\frac{1}{r_j},\Phi,\aleph _{1},\ldots,\aleph_{s} }^{r_{1},\dots,r_{s} } \left(0,1\right)^{s} \subset \left(0,1\right)^{s}, \end{equation*} имеет место при Замечание. Теорему 2 можно рассматривать как распространение теоремы 10.4 из [1, с. 129–130] на случай $\sum _{j=1}^{s}\frac{1}{r_{j} } =p,\, 1\le p\le +\infty$. Здесь случай В заключение отметим, что полученные здесь результаты частично анонсированы в [4]. Список литературы
|