Аннотация:
Мы изучаем оператор Дирака $L_P$, порожденный в пространстве $H=L_2[0,\pi]\oplus L_2[0,\pi]\ni \mathbf y$ дифференциальным выражением
\begin{gather*}
\ell_P(\mathbf y)=B\mathbf y'+P\mathbf y,\quad \text{где}\\
B = \begin{pmatrix} -i & 0 \\ 0 & i
\end{pmatrix},
\qquad
P(x) = \begin{pmatrix} p_1(x) & p_2(x) \\ p_3(x) & p_4(x)
\end{pmatrix},
\qquad
\mathbf y(x)=\begin{pmatrix}y_1(x)\\ y_2(x)\end{pmatrix}.\notag
\end{gather*}
Функции $p_j$, $j=1,2,3,4$, предполагаются суммируемыми на отрезке $[0,\pi]$ и комплекснозначными. Краевые условия имеют вид
\begin{equation*}
U(\mathbf y)=C\mathbf y(0)+D\mathbf y(\pi)=\begin{pmatrix}u_{11} & u_{12}\\ u_{21} &
u_{22}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1(0)\\
y_2(0)\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}u_{13} & u_{14}\\ u_{23} &
u_{24}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1(\pi)\\
y_2(\pi)\end{pmatrix}.
\end{equation*}
Оператор $L_{P,U}$, порожденный дифференциальным выражением $\ell_P$ и такими краевыми условиями является регулярным по Биркгофу, если
определители $J_{14}$ и $J_{23}$ отличны от нуля (здесь $J_{k,n}$ — определитель матрицы, составленный из $k$-го и $n$-го столбцов матрицы $\mathcal U$. Условия
являются сильно регулярными, если дополнительно выполнено равенство $(J_{12}+J_{34})^2+4J_{14}J_{23}\ne0$.
Теорема.
В общем случае суммируемого потенциала для любого сильно регулярного оператора $L_{P,U}$ система $\{\mathbf y_n\}_{n\in\mathbb Z}$
собственных (с нормировкой $\|\mathbf y_n\|_{H}=1$) и присоединенных функций (определенных в виде канонических цепочек по Келдышу) образует базис Рисса в пространстве
$H$. При этом, в случае, когда потенциал $P$ лежит в пространстве Бесова $B^\theta_{1,\infty}[0,\pi]$ для некоторого $\theta>0$ имеет место равномерная по шару
$\|P\|_{B^\theta_{1,\infty}}\le R$ базисность системы $\{\mathbf y_n\}_{n\in\mathbb Z}$. А именно, найдется такой номер $N=N(\theta,R,U)$, что оператор $T\colon\mathbf
e_n\mapsto\mathbf y_n$, определенный на подпространстве $Lin\{\mathbf e_n\}_{|n|> N}$, где $\{\mathbf
e_n\}_{n\in\mathbb Z}$ — произвольный ортонормированный базис в $H$, допускает оценку
$$
\|T\|\|T^{-1}\|\le M=M(\theta,R,U).
$$
Мы также обсудим вопрос о равномерной базисности для случая, когда $P\in L_\nu[0,\pi]$ для некоторого $\nu>1$ и $\|P\|_{L_\nu}\le R$.
|
