Теорема Харди–Литтлвуда для рядов Фурье–Прайса в пространствах Лоренца

В теории функций большую роль сыграла теорема Харди-Литтлвуда в пространстве Лебега $L_p[0,2\pi)$, $1<p<+\infty $ о тригонометрических рядах с монотонными коэффициентами [1]. С помощью этой теоремы доказывалась неулучшаемость различных утверждений гармонического анализа.
В настоящей работе речь идет о тереме типа теоремы Харди-Литтлвуда в пространстве Лоренца $L_{p\theta}\left[0,1\right],\ 1<p<+\infty $, $1<\theta<+\infty $ относительно рядов Фурье-Прайса с обобщенно-монотонными коэффициентами.
Понятие обобщенно-монотонных последовательностей было введено в [2]. В этой работе показано, что GM содержит в себе монотонные и квазимонотонные последовательности и классы последовательностей RBVS.
Пусть $L_{p\theta}\left[0,1\right],\ 1<p<+\infty $, $1<\theta<+\infty $ – пространство Лоренца [3], а $\Phi ={\left\{\varphi_k\left(x\right)\right\}}^{+\infty }_{k=0}$ –мультипликативная система Прайса. ${\left\|f\right\|}_{p\theta}$ означает норму элементов пространства $L_{p\theta}\left[0,1\right]$.
Основным результатом является следующее утверждение.
Теорема. Пусть $\overline{a}={\left\{a_\nu\right\}}^{+\infty }_{\nu=0}$ – положительная, стремящаяся к нулю обобщенно-монотонная последовательность. Для того чтобы последовательность $\overline{a}$ была последовательностью коэффициентов Фурье-Прайса некоторой функции $f\in L_{p\theta}\left[0,1\right]$, $1<p<+\infty $, $1<\theta<+\infty$ необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд
$$ \sum^{+\infty }_{\nu=1}{\nu^{\theta\left(1-{1}/{p}\right)-1}a^\theta_\nu}<+\infty . $$
При этом имеет место соотношение
$$ {\left\{a^\theta_0+\sum^{+\infty }_{\nu=1}{\nu^{\theta\left(1-{1}/{p}\right)-1}a^\theta_\nu}\right\}}^{\frac{1}{\theta}}\asymp {\left\|f\right\|}_{p\theta}. $$

Далее показывается применение данной теоремы в теории приближений и теории вложений.

Список литературы

1. A. Zygmund, Trigonometric series, v. I, II., 3ed edition, Cambridge Univ. Press, 2002    
2. C. Tikhonov, “Trigonometric series with general monotone coefficients”, Mathematical analysis and applications, 2007, no. 326, 721–735      
3. И. Стейн, Г. Вейс, Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах, Мир, М., 1974
4. Б. И. Голубов, А. В. Ефимов, В. А. Скворцов, Ряды и преобразования Уолша, Наука, М., 1987