Проблема Бернсайда и каноническая форма. Занятие 1

Рассмотрим $s$-порожденную группу $(s<1)$ с тождеством $x^n=1$. Будет ли она конечна? Ответ положителен при $n=2$ (легкое упражнение), при $n=3$ (это уровень сложной задачи студенческой олимпиады), при $n=4$ (проблема стояла около 40 лет) при $n=6$ (проблема стояла около 50 лет). При $n=5$ ничего не известно!
В середине 20 века П. С. Новиковым и С. И. Адяном было показано, что если $n$ нечетное число $\ge661$ то такая группа может быть бесконечна. А. И. Мальцев рассматривал этот результат как основное событие алгебры 20 века (эту точку зрения разделяет, в частности, И. Рипс, чьи исследования были вдохновлены работами П. С. Новикова-С. И. Адяна). Недавно С. И. Адян улучшил оценку до 101.
Мы постараемся рассказать о канонической форме в этих группах, введенной Рипсом и, возможно, рассказать о доказательстве теоремы Новикова-Адяна (опустив оценки).
Отметим, что перенос техники на группы с неположительной кривизной (энгелевы группы) позволил найти подход к построению геометрической теории колец.