|
ВИДЕОТЕКА |
Конференция по теории чисел и приложениям в честь 80-летия А. А. Карацубы
|
|||
|
On the irreducible solutions of the equation with inverses [О неприводимых решениях уравнения с обратными величинами] С. В. Конягин Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва |
|||
Аннотация: Рассмотрим симметричное диофантово уравнение $$ \frac{1}{x_{1}}+\ldots + \frac{1}{x_{r}}\,=\,\frac{1}{x_{r+1}}+\ldots + \frac{1}{x_{2r}},\qquad(1) $$ в котором Решение уравнения (1) называется неприводимым, если ни одна из компонент Теорема 1. Пусть $$ J_{r}(N)<e^{(3r)^{3}-90}N^{\,r\,-\,r/(2(2r-1))} \biggl(\frac{\ln{N}}{r}+9\biggr)^{\!10r^{2}}\!\!\exp{\biggl(\frac{26r^{3/2}\sqrt{\ln{N}}}{\ln{(r\ln{N})}}\biggr)}. $$ С помощью оценки теоремы 1 можно получить и асимптотическую формулу для количества Теорема 2. Пусть $$ I_{r}(N)\,=\,r!N^{r}\bigl(1\,+\,\delta_{r}(N)\bigr), $$ где $$ |\delta_{r}(N)|\leqslant e^{(3r)^{3}-90}N^{-\,r/(2(2r-1))}\biggl(\frac{\ln{N}}{r}+9\biggr)^{\!10r^{2}}\!\!\exp{\biggl(\frac{26r^{3/2}\sqrt{\ln{N}}}{\ln{(r\ln{N})}}\biggr)}. $$ В докладе предполагается рассказать об основных идеях, которые позволили доказать приведенные выше теоремы, а также некоторые другие утверждения, связанные с количеством решений уравнения (1). Язык доклада: английский |