|
ВИДЕОТЕКА |
Международная конференция «Дифференциальные уравнения и топология», посвящённая 100-летию со дня рождения Л. С. Понтрягина
|
|||
|
An inactivation principle in biomechanics [Принцип бездействия в биомеханике] Ж.-П. Готьеa, B. Berretb a Université du Sud Toulon-Var b Université de Bourgogne |
|||
Аннотация: Вопрос о том, какой принцип управления применяет подсознание человека при движении, весьма нетривиален. Результаты эксперимента, когда человек, указывая неподвижной вытянутой рукой в одном направлении, быстро поворачивал руку, и останавливал ее в другом направлении, оказались удивительными: спустя примерно половину всего времени движения В докладе рассказано об общей теории, объясняющей эти эффекты, и основанной на теории Трансверсальности и Принципе Максимума Понтрягина (включая негладкую версию принципа максимума, принадлежащую Кларку). Рассмотрим механическую систему с Лагранжианом $$ L(x,\dot x)=\frac12\dot x^TM(x)\dot x-V(x), $$ и обобщенными координатами $$ \frac\partial{\partial t}\,\frac{\partial L}{\partial\dot x}-\frac{\partial L}{\partial x}=u+N(x,\dot x), $$ представляют собой сумму вектора Итак, мы рассматриваем динамику управляемой системы \begin{equation} \phi(x,\dot x,u)=M(x)^{-1}(N(x,\dot x)-\nabla V(x)-C(x,\dot x)\dot x+u), \tag{1} \end{equation} и матрица Кориолиса $$ C_{ij}(x,\dot x)=\frac12\sum_{k=1}^n\biggl(\frac{\partial M_{ij}}{\partial x_k}+\frac{\partial M_{ik}}{\partial x_j}-\frac{\partial M_{kj}}{\partial x_i}\biggr)\dot x_k. $$ Обычная (алгебраическая) работа внешней управляющей силы (или момента) “Практической” работой внешней силы (то есть энергией, затраченной мышцей на эту внешнюю силу) будем называть величину Отметим, что в описанном эксперименте управления задаются как $$ Aw=\sum_{i=1}^n\biggl(\int_0^T|v_i\dot x_i|\,dt+\int_0^T|w_i\dot x_i|\,dt\biggr). $$ Наша теория содержит два основных результата: 1. Используя соображения трансверсальности, мы показываем, что для существования интервалов “бездействия” целевой функционал (если конечно он существует) не может быть гладким при Другими словами, наличие “бездействия” означает, что целевой функционал содержит члены, подобные абсолютной работе. 2. Используя Принцип Максимума для функционала, являющегося комбинацией абсолютной работы и некоторого другого члена (комфортности), мы доказываем, что промежутки бездействия, и даже одновременного бездействия всех групп мышц обязаны появляться при оптимальном движении. Отметим, что наш подход объясняет и ряд других классических явлений в биомеханике. Язык доклада: английский |