Случайные блуждания и броуновское движение, занятие 1

В 1827 году шотландский ботаник Роберт Браун наблюдал под микроскопом помещённую в воду крошечную крупинку цветочной пыльцы. Оказалось, что эта крупинка совершает крайне беспорядочные, зигзагообразные движения. Это движение не было связано с эффектами типа потока в жидкости, испарением, но сильно зависело от температуры. Молекулярное объяснение этого движения было в 1905 году математически дано А. Эйнштейном, а в 1908 году экспериментально было показано, что это хаотическое движение есть результат соударений частицы с молекулами воды. Математическая теория Эйнштейна использовала вероятностно-статистические соображения. Он изучил поведение частицы в фиксированный момент времени и зависящие от времени статистические свойства большой совокупности таких частиц. Им была построена математическая теория таких движений, которые в честь Р. Брауна стали называть броуновским движением. В двадцатых-тридцатых годах прошлого века Н. Винер начал математическое изучение траекторий движения таких частиц. Им была построена теория этого движения в пространстве непрерывных функций, наделённых специальной мерой, которую теперь называют винеровской мерой.
Соударения частицы с молекулами происходит необычайно часто. Дискретный (и по времени, и по пространству) аналог этого движения (по каждой координате) может быть идеализированно представлен как случайное блуждание
$$ S_n = X_1 + X_2 + \dots + X_n, n \geq 1.$$
Именно свойства этого блуждания являются целью лекций с последующим переходом к броуновскому движению (винеровскому процессу). Применяя вероятностный подход мы вводим прежде всего основные характеристики: вероятностное пространство $(\Omega,F,P)$, случайные величины, математические ожидания и др. Далее рассматриваются фундаментальные свойства случайных блужданий: закон больших чисел, теорема Муавра-Лапласа (центральная предельная теорема), усиленный закон больших чисел, закон повторного логарифма и др. В основном случайные блуждания будут рассматриваться для схемы Бернулли, когда случайные величины $X_i$ принимают два значения. На примерах будет показано как вероятностная комбинаторика и свойства случайных блужданий приводят к результатам, слабо поддающихся интуиции.