|
ВИДЕОТЕКА |
|
A что будет, если А. М. Вершик |
|||
Аннотация: Ответом на этот вопрос занимется пол-математики и почти вся физика, — более точную оценку дать невозможно, поскольку часто этот вопрос маскируется совсем непохожими на него. Но это не значит, что, если вы видите в задаче Мы рассмотрим несколько таких примеров. Пример № 1. Как устроена подстановка 1. Простая задача: сколько циклов в произвольной («типичной» или «случайной» — это будет уточнено) подстановке при большом 2. Задача посложнее с неожиданным ответом: каким может быть типичное соотношение между суммами длин циклов четной и нечетной длины — при больших 3. Трудный вопрос: в скольких циклах содержится 99% предметов у 99% всех подстановок при очень больших Оказывается, все эти вопросы можно задать и получить те же ответы в задаче о совсем не похожих объектах, а именно: о простых делителях типичных натуральных чисел, Например, аналог последней задачи: произведение 11 старших простых делителей для большинства (99%) натуральных чисел Эти задачи привели к замечательной теории случайных сходящихся рядов, которая нашла применения в популяционной генетике, в теории запасов, и даже в теории представлений и ее применениях к физике. Пример № 2. Рассмотрим разбиения натурального числа в сумму натуральных же слагаемых расположенных в невозрастающем порядке. Разбиениями занимался еще Л. Эйлер, а Харди и Раманауджан нашли в начале ХХ века очень сложную формулу для числа таких разбиений (простой формулы не существует!). Как выглядит типичное разбиение числа Пример № 3. Рассмотрим выпуклые многоугольники на плоскости, вершины которых лежат на целочисленной решетке (т.е. имеют целые координаты). Зафиксируем площадь многоугольников, равную
|