Приближения алгебраических чисел рациональными и диофантовы уравнения, занятие 1

Пусть $x$ — действительное число. Конечно, оно может быть приближено сколь угодно хорошо рациональным числом вида p/q. Но что если мы хотим, чтобы погрешность была маленькой по сравнения с q? Несложно показать, что, например, $|\sqrt{2}-p/q|>1/5q^2$. Частичным обобщением этого является оценка Лиувилля, доказанная еще в середине XIX-го века: если $x$ — корень уравнения степени $n$ с целыми коэффициентами, то найдется такая константа $c(x)$, что $|x-p/q|>c(x)/q^n$.
В начале XX-го века Туэ доказал, что n в показателе можно заменить на n/2+1. Но оказывается, что и эту оценку можно существенно усилить. Я сформулирую «наилучшую» возможную оценку, и дам набросок доказательства. Методы, развитые при доказательстве, используются повсеместно в теории трансцендентных чисел. Например, при доказательстве трансцендентности чисел e и π.
Используя эти оценки, можно доказать, что многие диофантовы уравнения имеют лишь конечное число решений. Например, мы докажем это для уравнения $x^3-2y^3=1$.