Гиперболические уравнения на не глобально гиперболических многообразиях

Теория задачи Коши для гиперболических уравнений на глобально гиперболических многообразиях была исследована в работах Адамара, Петровского, Лере и других авторов, см. [1]–[2]. Ориентируемое по времени пространство-время (т.е. пара $(M,g)$, где $M$ – гладкое многообразие, $g$ – лоренцева метрика) называется глобально гиперболическим, если $M$ диффеоморфно $\mathbb{R}^1\times\Sigma$, где $\Sigma$ есть поверхность Коши. Это определение эквивалентно определению глобальной гиперболичности Лере [2].
Гиперболические уравнения на не глобально гиперболических многообразиях изучены значительно меньше, хотя многочисленные примеры таких многообразий представляются известными решениями уравнений Эйнштейна для гравитационного поля, такими как решения Геделя, Керра, Готта и другие, см. [3].
В данной работе рассматриваются решения задачи Коши для гиперболических уравнений на не глобально гиперболических многообразиях, содержащих замкнутые времени-подобные кривые («машины времени»). Доказано, что для волнового уравнения на таких многообразиях специального вида, содержащих конические точки, решение задачи Коши существует, оно разрывно и в определенном смысле единственно для произвольных начальных данных, заданных на гиперповерхности в момент времени, предшествующий образованию замкнутых времени-подобных кривых. Если же гиперповерхность начальных данных пересекает область, содержащую замкнутые времени-подобные кривые, то решение задачи Коши существует только для начальных данных, удовлетворяющих определенному условию самосогласованности.
На полуплоскости $\mathbb{R}^2_+=\{(t,x)\in\mathbb{R}^2\mid t>0\}$ рассмотрим два вертикальных интервала $\gamma_1$ и $\gamma_2$ длины $l>0$:
\begin{align*} \gamma_1&=\{(t,x)\in\mathbb{R}_{+}^{2}\mid x=a_1,\ b_1<t<b_1+l\}, \\ \gamma_2&=\{(t,x)\in\mathbb{R}_{+}^{2}\mid x=a_2,\ b_2<t<b_2+l\}. \end{align*}
Предположим, что
$$ a_2>a_1, \quad b_2>b_1+l+a_2-a_1. $$

Пусть $\overline{\gamma}_i$ – замыкание интервала $\gamma_i$, $i=1,2$. Рассмотрим задачу Коши для волнового уравнения в открытом подмножестве области $\mathbb{R}^2_+\setminus\{\overline{\gamma}_1\cup\overline{\gamma}_2\}$ (исключены характеристические прямые, выходящие из концов отрезков $\overline{\gamma}_i$) для функции $u=u(t,x)$:
\begin{gather} u_{tt}-u_{xx}=0, \tag{1} \\ u(t,x)|_{t=0}=u_0(x), \quad \partial_{t}u(t,x)|_{t=0}=u_1(x). \tag{2} \end{gather}
Здесь и $u_0$, $u_1$ – гладкие функции.
Предположим, что функция $u(t,x)$ и ее первые производные по $t$ и $x$ допускают непрерывное продолжение на интервалы $\gamma_1$ и $\gamma_2$ при стремлении $(t,x)$ к $\gamma_1 $ и $\gamma_2$ справа и слева, и наложим следующие условия сшивки:
\begin{align} u(t,x)|_{x=a_1-0}&=u(t+b_2-b_1,x)|_{x=a_2+0}, \tag{3} \\ \partial _{x}u(t,x)|_{x=a_1-0}&=\partial _{x}u(t+b_2-b_1,x)|_{x=a_2+0}, \tag{4} \\ u(t,x)|_{x=a_1+0}&=u(t+b_2-b_1,x)|_{x=a_2-0}, \tag{5} \\ \partial _{x}u(t,x)|_{x=a_1+0}&=\partial_{x}u(t+b_2-b_1,x)|_{x=a_2-0}, \tag{6} \end{align}
где $b_1< t <b_1+l$.
Теорема. Решение задачи (1), (2), (3)–(6) существует и, в предположении минимальной разрывности, единственно.
Мотивировка настоящей работы связана с рассмотрением возможности рождения конфигураций пространства-времени с нетривиальной топологией (wormholes) при столкновении частиц высоких энергий [3].
Работа выполнена совместно с И. Я. Арефьевой и Т. Ишиватари.

Список литературы

1. В. С. Владимиров, Уравнения математической физики, Наука, М., 1967
2. Ж. Лере, Гиперболические дифференциальные уравнения, Наука, М., 1984
3. I. Ya. Aref'eva, I. V. Volovich, “Time Machine at the LHC”, Int. J. Geom. Meth. Mod. Phys., 5 (2008), 641–651, arXiv: 0710.2696