Теорема Минковского о многогранниках и задача Ньютона, занятие 3

Наш главный герой — теорема Минковского о существовании выпуклого многогранника, имеющиго заданные площади и направления граней. Такой многогранник существует не всегда, а лишь когда векторы, перпендикулярные граням и по длине равные их площадям в сумме дают ноль. В этом случае многогранник существует, причем (это очень важно!) единственный с точностью до параллельного переноса.
Удивительно, что столь наглядная теорема не имеет ни одного геометрического доказательства. Сначала мы немного поговорим о принципе Лагранжа для решения экстремальных задач, а для установления единственности нам понадобится доказать теорему Брунна-Минковского об объемах выпуклых тел (которая замечательна сама по себе).
Основные приложения теоремы Минковского — в кристаллографии и в геометрии многогранников. Но недавно появилось еще одно. Это задача Ньютона о поверхности наименьшего сопротивления. Данной задаче более 300 лет. Долгое, время она считалась решенной, но относительно недавно выяснилось, что найти самую обтекаемую поверхность среди всех поверхностей, а не только поверхностей вращения, Ньютону не удалось. Проблема до сих пор остается отрытой. Для работы с задачей Ньютона мы пройдем основы вариационного исчисления, а затем обсудим, сможет ли Минковский помочь Ньютону?
Примерная программа
1. Теорема Минковского о многогранниках. Замечательные следствия. Меры на сферах, порождающие выпуклые фигуры. Приложения к задаче Ньютона.
2. Как доказывать теоремы существования с помощью методов теории экстремума. Теорема Лагранжа: в чем ее сила (на примерах)? Единственность многогранника Минковского – как доказать? Выпуклые функции и выпуклая оптимизация. Теорема Брунна-Минковского — великая и ужасная.
3. Задача Ньютона о самой обтекаемой поверхности. Вариационное исчисление и уравнения Эйлера-Лагранжа. Ошибся ли Ньютон? Через 300 лет — все сначала.
4. Шероховатый — лучше чем гладкий! Поверхности нулевого сопротивления. Преобразование задачи Ньютона с помощью теоремы Минковского. Некоторые выводы.