Дискретизация интегральных норм по значениям в точках

Пусть числа $C>c>0$ фиксированы, пусть $\Omega$ — некоторый компакт, и пусть $\mu$ — некоторая вероятностная мера на $\Omega$. Пусть $L$ — подпространство пространства $L^p(\mu)\cap C(\Omega)$ размерности $N$. В докладе рассматривается следующий вопрос: для каких $m\in \mathbb{N}$ найдутся такие точки $x_1, \ldots, x_m\in \Omega$, что
$$ c\|f\|_p^p\le \frac{1}{m}\sum\limits_{j=1}^m|f(x_j)|^p\le C\|f\|_p^p\quad \forall f\in L. $$
Ясно, что всегда $m\ge N$, и основной интерес представляют условия на подпространство $L$, при которых можно утверждать, что $m$ по порядку сравнимо с размерностью $N$. Отметим, что часто интерс представляет ситуация, когда $c=1-\varepsilon$, $C=1+\varepsilon$, где $\varepsilon$ — некоторый малый параметр.
В докладе будет обсуждаться следующий недавний результат из работы [1].
Теорема 1. Пусть $p\in(1,2)\cup(2, \infty)$, $M\ge 1$, $\varepsilon\in(0, 1)$. Существует такое число $C:=C(M, p, \varepsilon)>0$, что для каждого $N$-мерного подпространства $L\subset L^p(\mu)\cap C(\Omega)$, удовлетворяющего условию
$$ \|f\|_\infty\le MN^{\frac{1}{\max\{p,2\}}}\|f\|_{\max\{p,2\}}\quad \forall f\in L, $$
и для каждого натурального числа $m\ge CN[\log N]^{\max\{p, 2\}}$ найдутся такие точки $x_1,\ldots, x_m\in \Omega$, что
$$ (1-\varepsilon)\|f\|_p^p\le\frac{1}{m}\sum\limits_{j=1}^m|f(x_j)|^p \le (1+\varepsilon)\|f\|_p^p\quad \forall f\in L. $$

Данная теорема в некотором смысле усиливает результаты предыдущих работ [2], [3], [4]. Доказательство указанной теоремы основано на случайном выборе точек $x_1, \ldots, x_m$ и применении метода чейнинга для оценки сверху ожидания супремума некоторого случайного процесса.