Аннотация:
В задачах классической теории узлов нередко возникают различные геометрические процедуры, меняющие тип узла. Самый популярный вид таких процедур – локальные преобразования – замена в узле или зацеплении тэнгла одного типа на тэнгл другого типа. Среди хорошо изученных локальных преобразований – переключение перекрёстков ([5]), вложенная перестройка ([4,1]), $\Delta$-преобразование ([7]), $\#$-преобразование ([6]), $n$-преобразование ([8]). Но исследование каждого из этих локальных преобразований зачастую идет в строго определенном направлении, для разных преобразований задаются разные вопросы. В данном докладе будет представлен обзор использования метода Гордиевых графов для универсализации изучения преобразований узлов и, что более важно, обнаружения необычных и тонких структур на множестве всех узлов или зацеплений. Каждому преобразованию можно сопоставить его Гордиев граф, вершинами которого являются все узлы, а ребро между двумя вершинами проводится в том случае, если данное преобразование переводит один узел в другой и наоборот. Гордиевы графы исследовались, например, в работах [2, 3]. Такой инструмент как Гордиевы графы помогает существенно облегчить формулировку большинства классических вопросов о преобразованиях, придать гипотезам явную геометрическую визуализацию. Гордиевые графы позволяют конструировать гипотезы-шаблоны – задавать вопросы универсально, для любого преобразования, а также изучать новые свойства преобразований, трудноформулируемые в других терминах.
Website:
https://talantiuspeh.webex.com/talantiuspeh-ru/j.php?MTID=m12b58ad1f14d7a9bb870e0bc3a71ff2c
Список литературы
-
Ю. С. Белоусов, М. В. Карев, А. В. Малютин, А. Ю. Миллер, Е. А. Фоминых, “Лернейские узлы и вложенные перестройки”, Алгебра и анализ, 33:1 (2021), 30–66
 -
R. Blair, M. Campisi, J. Johnson, S. A. Taylor, M. Tomova, “Neighbors of knots in the Gordian graph”, Amer. Math. Monthly, 124:1 (2017), 4–23
-
S. Jabuka, B. Liu, A. H. Moore, Knot graphs and Gromov hyperbolicity, 2019, arXiv: 1912.03766
-
J. Hoste, Y. Nakanishi, K. Taniyama, “Unknotting operations involving trivial tangles”, Osaka J. Math., 27:3 (1990), 555–566
-
W. B. R. Lickorish, “The unknotting number of a classical knot”, Combinatorial methods in topology and algebraic geometry, Rochester, N.Y., 1982, 117–121
-
H. Murakami, “Some metrics on classical knots”, Math. Ann., 270:1 (1985), 35–45
-
H. Murakami, Y. Nakanishi, “On a certain move generating link-homology”, Math. Ann., 284:1 (1989), 75–89
-
J. H. Przytycki, “$t-k$ moves on links”, Braids, (Santa Cruz, CA, 1986), Contemp. Math., 78, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1988, 615–656
|
